パスカルの三角形とその性質

二項係数に関して,いろいろな性質がある。
パスカルの三角形から,気付きやすい性質がある。 その性質(規則)をあげてみよう。
※注)最上段を 0行目(段目)とし,次を 1行目(段目)としてカウントし,
   左から 0番目とし,次を 1番目としてカウントする。

(1)

各行の和をとると,図のような規則がある。
性質1)各行の和に関して 上から \(n\) 行目の和は \(2^n\) である。
\begin{flalign} & ➀ \quad \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{ C }_k = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots +{}_n \mathrm{ C }_n = 2^n \notag & \end{flalign}
(2)

性質2)\(n\) 段目までの和は \(2^{n+1}-1\) である。
\begin{flalign} & ➁ \quad \sum_{k=0}^{n} \left( \sum_{i=0}^{k} {}_k \mathrm{ C }_i \right) = \sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^0+2^1+2^2+ \cdots +2^n = 2^{n+1}-1 \notag & \end{flalign}
(3)

上段から順に1, 11, 121, 1331, …… と公比11の等比数列ができる。
性質3) \(n\) 行目の数字が各桁を表していると見れば \(11^n\) となる。
\begin{flalign} & ➂ \quad \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{ C }_k \times 10^{n-k} = {}_n \mathrm{ C }_0 \times 10^n + {}_n \mathrm{ C }_1 \times 10^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_2 \times 10^{n-2} + \cdots +{}_n \mathrm{ C }_n \times 10^0 = 11^n \notag & \end{flalign}
(4)

図のように,斜めの和が次の段に現れる。
性質4) 左から \(k\) 番目の数字の,\(k\) 段目から \(k+n\) 段目までの和は \(k+n+1\) 段目の左から \(k+1\) 番目の数字となる。
\begin{flalign} & ➃ \quad \sum_{i=0}^{n} {}_{k+i} \mathrm{ C }_k = {}_k \mathrm{ C }_k + {}_{k+1} \mathrm{ C }_k + {}_{k+2} \mathrm{ C }_k + \cdots +{}_{k+n} \mathrm{ C }_k = {}_{k+n+1} \mathrm{ C }_{k+1} \notag & \end{flalign}
(5)

外側の2列目にしか素数はない?
性質5)\( {}_n \mathrm{ C }_k \mathrm{(} 2 \leqq k \leqq n-2 ただし n \geqq 4 \mathrm{)}\) は素数でない。

(6)

2列目が素数ならば,その行は両端を除いてすべてその素数の倍数である。
性質6)\(m\) を素数とするとき,\( {}_m \mathrm{ C }_r \mathrm{(} 1 \leqq r \leqq m-1 \mathrm{)} \) は \(m\) の倍数である。

(7)

性質7)図のようなひし形の内部にある数の和は,その下の数から 1 を引いたものである。
\begin{flalign} & ➆ \quad \sum_{i=0}^{n} \left( \sum_{j=0}^{n} {}_{i+j} \mathrm{ C }_i \right) = {}_{2n+2} \mathrm{ C }_{n+1} -1 \notag & \end{flalign}
(8)

性質8)行の各数の2乗の和が,その行番号の2倍の数を行番号とする行の中央の数字に現れる。
\begin{flalign} & ➇ \quad \sum_{k=0}^{n} \left( {}_n \mathrm{ C }_k \right)^2 = {}_{2n} \mathrm{ C }_n \notag & \end{flalign}
(9)

各倍数に着目すると,逆三角形になっている。
性質9)\(m\) を素数とするとき,\( {}_{m+k} \mathrm{ C }_r \mathrm{(} k+1 \leqq r \leqq m-1,\hspace{6px} k=0,1,2,\cdots,m-2 \mathrm{)} \) は \(m\) の倍数である。

(10)

性質10)上の三角形の中の総和に 1 を加えると,下の段の数の総和になる。
\begin{flalign} & ➉ \quad \sum_{k=0}^{n} \left( \sum_{i=0}^{k} {}_k \mathrm{ C }_i \right) +1 = \sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{ C }_k \notag & \end{flalign}
(11)

素数の倍数は,底辺が \( m-1 \) 個でできた逆三角形で現れる。(?)

性質11)\(m\) を素数とするとき,

\( {}_{2m+k} \mathrm{ C }_r \ \mathrm{(} \ k+1 \leqq r \leqq m-1, \quad m+k+1 \leqq r \leqq 2m-1 \ \mathrm{)} \)

\( \hspace{2em} ただし,k=0,1,2,\cdots,m-2 \)

は,\(m\) の倍数である。

(12)

5の倍数に着目したとき,図のように規則的に現れる。

性質12)\(m\) を素数とするとき,

\( {}_{m+k} \mathrm{ C }_r \mathrm{(} k+1 \leqq r \leqq m-1,\hspace{6px} k=0,1,2,\cdots,m-2 \mathrm{)} \) は \(m\) の倍数である。

\( \hspace{2em} ただし,k=0,1,2,\cdots,m-2 \)

は,\(m\) の倍数である。

(13)

奇数と偶数の項に分けると,シェルピンスキーのギャスケットの形ができる。
【補足】シェルピンスキーのギャスケットとは,
正三角形から,各辺の中点を結んでできる\( \frac{1}{2} \)の正三角形を除く。
また,残った3個の正三角形から各辺の中点を結んでできる元の正三角形の\( \frac{1}{2} \)の正三角形を除く。
これを繰り返してできる自己相似形のこと。


(14)

桂馬飛びに和を作ると,フィボナッチ数列ができる。

二項定理など数式からでは気付かない様々な二項係数に関する性質や規則を, パスカルの三角形を通して発見することができたりする。
具体的な値で考えてみることが大切さである。

 上記の性質の他に,一般的に知られている二項係数に関する等式を以下に列挙する。

\begin{flalign*} & [1] \quad {}_n \mathrm{ C }_{n-r} = {}_n \mathrm{ C }_r & \\[0.5em] & [2] \quad {}_n \mathrm{ C }_{r} = {}_{n-1} \mathrm{ C }_r + {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} & \\[0.5em] & [3] \quad r \cdot {}_n \mathrm{ C }_{r} = n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} & \\[0.5em] & [4] \quad {}_n \mathrm{ C }_0 - {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 - \cdots + \left( -1 \right)^n {}_n \mathrm{ C }_n = 0 & \\[0.5em] & [5] \quad {}_n \mathrm{ C }_0 + 2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + 2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots + 2^n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n = 3^n & \\[0.5em] & [6] \quad 1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + 2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2 + 3 \cdot {}_n \mathrm{ C }_3 + \cdots + n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n = n \cdot 2^{n-1} & \\[0.5em] & [7] \quad 1^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + 2^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2 + 3^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_3 + \cdots + n^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n = n(n+1) \cdot 2^{n-2} & \\[0.5em] & [8] \quad \frac{ {}_n \mathrm{ C }_0 }{1} + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_1 }{2} + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_2 }{3} + \cdots + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_n }{n+1} = \frac{ 2^{n+1} -1 }{n+1} & \\[0.5em] & [9] \quad {}_m \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_m \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + {}_m \mathrm{ C }_2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-2} + \cdots + {}_m \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 = {}_{m+n} \mathrm{ C }_m \quad \left( ただし,m \geqq n \right) & \\ \end{flalign*}
上記に挙げられた等式を,簡単に証明しよう。

[1] の証明
二項係数の定義から,
\begin{flalign*} {}_n \mathrm{ C }_{n-r} &= \frac{ n! }{(n-r)! \cdot \{ n-(n-r) \}! } & \\ &= \frac{ n! }{ r! \cdot (n-r)! } = {}_n \mathrm{ C }_r & \\ \end{flalign*}
[2] の証明
二項係数の定義から,
\begin{flalign*} {}_{n-1} \mathrm{ C }_r + {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} &= \frac{ ( n-1 )! }{ r! \cdot \{ (n-1)-r \}! } + \frac{ ( n-1 )! }{ (r-1)! \cdot \{ (n-1)-(r-1) \}! } & \\ &= \frac{ ( n-1 )! }{ r! \cdot ( n-r-1 )! } + \frac{ ( n-1 )! }{ (r-1)! \cdot (n-r)! } & \\ &= \frac{ ( n-1 )! \cdot ( n-r ) }{ r! \cdot ( n-r )! } + \frac{ ( n-1 )! \cdot r }{ r! \cdot (n-r)! } & \\ &= \frac{ ( n-1 )! \cdot \{( n-r ) + r \} }{ r! \cdot (n-r)! } & \\ &= \frac{ ( n-1 )! \cdot n }{ r! \cdot (n-r)! } = \frac{ n! }{ r! \cdot (n-r)! } = {}_n \mathrm{ C }_r & \\ \end{flalign*}
[3] の証明
二項係数の定義から,
\begin{flalign*} r \cdot {}_n \mathrm{ C }_r &= r \cdot \frac{ n! }{ r! \cdot (n-r)! } & \\ &= \frac{ ( n-1 )! }{ (r-1)! \cdot ( n-r )! } & \\ n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} &= n \cdot \frac{ ( n-1 )! }{ (r-1)! \cdot \{ (n-1)-(r-1) \}! } & \\ &= \frac{ n! }{ (r-1)! \cdot (n-r)! } & \\ \therefore \quad r \cdot {}_n \mathrm{ C }_{r} & = n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} & \\ \end{flalign*}
➀ の証明
二項定理 \begin{flalign*} & \quad (a+b)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 a^n + {}_n \mathrm{ C }_1 a^{n-1} b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2} b^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} a b^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n b^n & \end{flalign*} より
\begin{flalign*} & \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n x^n & \end{flalign*} が成立する。
 ここで,\( x=1 \) を代入すると, \begin{flalign*} & \quad 2^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n & \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

➁ の証明
 ➁の左辺は,初項 1 ,公比 2 の等比数列の和だから,和の公式より証明される。

➂ の証明
 ➂の左辺は,二項定理より \( (1+10)^n \) の展開式だから,\( 11^n \) となる。

[4] の証明
二項定理より \begin{flalign*} & \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n & \\[0.5em] \end{flalign*} において,\( x=-1 \) を代入すると \begin{flalign*} \quad 0 &= {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 \ (-1) + {}_n \mathrm{ C }_2 \ (-1)^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ (-1)^n & \\[0.5em] &= {}_n \mathrm{ C }_0 - {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 + \cdots +(-1)^n \ {}_n \mathrm{ C }_n & \\[0.5em] \end{flalign*} [5] の証明
 [4] の証明と同様に,
\begin{flalign*} & 二項定理 \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n において & \end{flalign*} \( x=2 \) を代入すると,証明できる。

➃ の証明
 \( k+i=l \) とおき,\( k+n=m \) とすれば,等式➃の左辺は, \begin{flalign*} & \quad \sum_{i=0}^{n} {}_{k+i} \mathrm{ C }_k = \sum_{l=k}^{m} {}_{l} \mathrm{ C }_k & \\ \end{flalign*} と表され,証明すべき等式は
\begin{flalign*} & ➃' \quad {}_k \mathrm{ C }_k + {}_{k+1} \mathrm{ C }_k + {}_{k+2} \mathrm{ C }_k + \cdots +{}_{m} \mathrm{ C }_k = {}_{m+1} \mathrm{ C }_{k+1} \quad \left( ただし,m \geqq k \right) & \end{flalign*} となる。
\begin{flalign*} & 等式[2] を利用すると,{}_n \mathrm{ C }_{r} - {}_{n-1} \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ \left( n \gt r \right) \ より & \\[0.5em] & \quad {}_l \mathrm{ C }_k = {}_{l+1} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_l \mathrm{ C }_{k+1} \ \left( l \geqq k+1 \right) & \\ \end{flalign*} \(m \geqq k+1 \) のとき, \begin{flalign*} \quad \sum_{l=k}^{m} {}_{l} \mathrm{ C }_k &= {}_{k} \mathrm{ C }_k + \sum_{l=k+1}^{m} {}_{l} \mathrm{ C }_k & \\ &= 1 + \sum_{l=k+1}^{m} \{ {}_{l+1} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_l \mathrm{ C }_{k+1} \} & \\ &= 1 + \{ {}_{k+2} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_{k+1} \mathrm{ C }_{k+1} \} + \{ {}_{k+3} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_{k+2} \mathrm{ C }_{k+1} \} & \\[0.5em] & \hspace{ 4em } + \{ {}_{k+4} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_{k+3} \mathrm{ C }_{k+1} \} + \cdots + \{ {}_{m+1} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_{m} \mathrm{ C }_{k+1} \} & \\[0.5em] &= 1 + {}_{m+1} \mathrm{ C }_{k+1} - {}_{k+1} \mathrm{ C }_{k+1} & \\[0.5em] &= {}_{m+1} \mathrm{ C }_{k+1} & \\ \end{flalign*} \(m \geqq k \) のとき,左辺\(=1\),右辺\(=1\) より,成立する。
よって,与等式は成立する。

➆ の証明
 等式➃を利用して \begin{flalign*} \quad \sum_{i=0}^{n} \left( \sum_{j=0}^{n} {}_{i+j} \mathrm{ C }_i \right) &= \sum_{i=0}^{n} \left( {}_{i+n+1} \mathrm{ C }_{i+1} \right) & \\ &= {}_{n+1} \mathrm{ C }_1 + {}_{n+2} \mathrm{ C }_2 + {}_{n+3} \mathrm{ C }_3 + \cdots + {}_{2n+1} \mathrm{ C }_{n+1} & \\[0.5em] &= {}_{n+1} \mathrm{ C }_n + {}_{n+2} \mathrm{ C }_n + {}_{n+3} \mathrm{ C }_n + \cdots + {}_{2n+1} \mathrm{ C }_n & \\ \end{flalign*}  等式➃より \begin{flalign*} & \quad {}_{n+1} \mathrm{ C }_n + {}_{n+2} \mathrm{ C }_n + {}_{n+3} \mathrm{ C }_n + \cdots + {}_{2n+1} \mathrm{ C }_n & \\[0.5em] & \hspace{ 5em } = - {}_n \mathrm{ C }_n + {}_{2n+2} \mathrm{ C }_{n+1} & \\[0.5em] & \hspace{ 5em } = {}_{2n+2} \mathrm{ C }_{n+1} - 1 & \\[0.5em] \end{flalign*} ➇ の証明
\begin{flalign*} & 二項定理 \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n \quad を利用して & \\[0.5em] & (1+x)^{2n} = {}_{2n} \mathrm{ C }_0 + {}_{2n} \mathrm{ C }_1 x + {}_{2n} \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_{2n} \mathrm{ C }_n x^n + \cdots + {}_{2n} \mathrm{ C }_{2n} x^{2n} \quad \ldots Ⓐ & \end{flalign*} また
\begin{flalign*} (1+x)^{2n} &= (1+x)^n (1+x)^n & \\[0.5em] &= ( {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n ) ( {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n ) & \\[0.5em] &= ( {}_n \mathrm{ C }_0 )^2 + ( {}_n \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 ) x + \{ {}_n \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2 + ( {}_n \mathrm{ C }_1 )^2 + {}_n \mathrm{ C }_2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 \} x^2 + \cdots & \\[0.5em] & \hspace{ 4em } + ( {}_n \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_n \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 ) x^n + \cdots & \\[0.5em] & \hspace{ 4em } + ( {}_n \mathrm{ C }_{n-1} \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_n \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} ) x^{2n-1} + ( {}_n \mathrm{ C }_n)^2 x^{2n} \quad \ldots Ⓑ & \end{flalign*}
Ⓐ,Ⓑ から,\( x^n \) の係数を比較して,
\begin{flalign*} {}_{2n} \mathrm{ C }_n & = {}_n \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_n \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 & \\[0.5em] & = {}_n \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_n \quad ( \ \because {}_n \mathrm{ C }_{n-k} = {}_n \mathrm{ C }_k \ , \ k=0,1,2,\cdots,n \ ) & \\[0.5em] & = ( {}_n \mathrm{ C }_0 )^2 + ( {}_n \mathrm{ C }_1 )^2 + \cdots + ( {}_n \mathrm{ C }_n )^2 & \\[0.5em] & = \sum_{k=0}^{n} \left( {}_n \mathrm{ C }_k \right)^2 \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

➉ の証明
➀,➁より, \begin{flalign*} & \quad \sum_{k=0}^{n} \left( \sum_{i=0}^{k} {}_k \mathrm{ C }_i \right) +1 = 2^{n+1} & \\[0.5em] & \quad \sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{ C }_k = 2^{n+1} & \\ \end{flalign*} より,与等式は成立する。

[6] の証明
[3]より, \( k \cdot {}_n \mathrm{ C }_{k} = n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} \ \left( ただし,n \geqq k \geqq 1 \right) \) だから,二項定理より
\begin{flalign*} (左辺) &= \sum_{k=1}^{n} k \cdot {}_n \mathrm{ C }_k & \\ &= \sum_{k=1}^{n} n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} & \\ &= n \sum_{k=1}^{n} {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} = n \cdot 2^{n-1} \quad ( \ \because \ ➀より \ ) & \\ \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

(別証)
\begin{flalign*} & 二項定理 \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n \quad において & \end{flalign*} 両辺を \( x \) について微分すると
\begin{flalign*} & \hspace{ 3em } n \cdot (1+x)^{n-1} = {}_{n} \mathrm{ C }_1 + 2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 x + 3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 x^2 + \cdots + n \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} x^{n-1} & \end{flalign*} ここで,\( x = 1 \) を代入すると
\begin{flalign*} & \hspace{ 3em } n \cdot 2^{n-1} = {}_{n} \mathrm{ C }_1 + 2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 + 3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 + \cdots + n \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} & \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

[7] の証明
[3]より,
\begin{flalign*} (左辺) &= \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_k = \sum_{k=1}^{n} k \left( k \cdot {}_n \mathrm{ C }_k \right) & \\ &= \sum_{k=1}^{n} k \left( n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} \right) & \\ &= n \sum_{k=1}^{n} k \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} & \\ &= n \sum_{k=1}^{n} \lbrace (k-1) \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} \rbrace & \\ &= n \sum_{k=1}^{n} (k-1) \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} + n \sum_{k=1}^{n} {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} & \\ &= n \sum_{k=2}^{n} (k-1) \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} + n \cdot 2^{n-1} \quad ( \ \because \ ➀より \ ) & \\ &= n \sum_{k=2}^{n} (n-1) \cdot {}_{n-2} \mathrm{ C }_{k-2} + n \cdot 2^{n-1} \quad ( \ \because \ ➂より \ ) & \\ &= n(n-1) \sum_{k=2}^{n} {}_{n-2} \mathrm{ C }_{k-2} + n \cdot 2^{n-1} & \\ &= n(n-1) \cdot 2^{nー2} + n \cdot 2^{n-1} \quad ( \ \because \ ➀より \ ) & \\[0.5em] &= n(n-1) \cdot 2^{nー2} + 2n \cdot 2^{n-2} & \\[0.5em] &= n(n+1) \cdot 2^{n-2} & \\ \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

(別証)
\begin{flalign*} & 二項定理 \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n \quad において & \end{flalign*} 両辺を \( x \) について微分すると
\begin{flalign*} & \hspace{ 3em } n \cdot (1+x)^{n-1} = {}_{n} \mathrm{ C }_1 + 2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 x + 3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 x^2 + \cdots + n \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} x^{n-1} & \end{flalign*} 両辺に \( x \) を掛けて \begin{flalign*} & \hspace{ 3em } n \cdot x(1+x)^{n-1} = {}_{n} \mathrm{ C }_1 x + 2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 x^2 + 3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 x^3 + \cdots + n \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} x^n & \end{flalign*} さらに,両辺を \( x \) について微分すると
\begin{flalign*} & \hspace{ 1em } n \lbrace (1+x)^{n-1} + (n-1)x(1+x)^{n-2} \rbrace = {}_{n} \mathrm{ C }_1 + 2^2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 x + 3^3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 x^2 + \cdots + n^2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} x^{n-1} & \end{flalign*} ここで,\( x = 1 \) を代入すると
\begin{flalign*} & \hspace{ 1em } n \lbrace 2^{n-1} + (n-1) \cdot 2^{n-2} \rbrace = {}_{n} \mathrm{ C }_1 + 2^2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_2 + 3^3 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_3 + \cdots + n^2 \cdot {}_{n} \mathrm{ C }_{n} & \\[0.5em] & \hspace{ 1em } (左辺) = n \lbrace 2 \cdot 2^{n-2} + (n-1) \cdot 2^{n-2} \rbrace = n(n+1) \cdot 2^{n-2} & \\ \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

[8] の証明
[3]より,
\( \hspace{ 2em } (k+1) \cdot {}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1} = (n+1) \cdot {}_n \mathrm{ C }_k \ \ \left( ただし,n \geqq k \geqq 1 \right) \hspace{ 1em } だから \)
\begin{flalign*} & \hspace{ 2em } \frac{ {}_n \mathrm{ C }_k }{k+1} = \frac{ {}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1} }{n+1} & \\ \end{flalign*} よって,
\begin{flalign*} (左辺) = \sum_{k=0}^{n} \frac{ {}_n \mathrm{ C }_k }{k+1} &= \sum_{k=0}^{n} \frac{ {}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1} }{n+1} & \\ &= \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}_{n+1} \mathrm{ C }_{k+1} & \\ &= \frac{1}{n+1} \sum_{l=1}^{n+1} {}_{n+1} \mathrm{ C }_{l} & \\ &= \frac{1}{n+1} ( 2^{n+1} -1 ) \hspace{ 1em } ( \ \because \ ➀より \ ) & \\[0.5em] &=(右辺) \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

(別証)
\begin{flalign*} & 二項定理 \quad (1+x)^n = {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n \quad において & \end{flalign*} 両辺を \( \ x = 0 \ \) から \( \ x = 1 \ \) まで積分すると
\begin{flalign*} \quad \int_{0}^{1} (1+x)^n dx &= \int_{0}^{1} \{ {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n \} dx & \\ &= {}_n \mathrm{ C }_0 \int_{0}^{1} dx + {}_n \mathrm{ C }_1 \int_{0}^{1} x dx + {}_n \mathrm{ C }_2 \int_{0}^{1} x^2 dx + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \int_{0}^{1} x^n dx & \\ \quad \left[ \frac{ (1+x)^{n+1} }{n+1} \right]_0^1 &= {}_n \mathrm{ C }_0 \left[ \ x \ \right]_0^1 + {}_n \mathrm{ C }_1 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + {}_n \mathrm{ C }_2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \left[ \frac{ x^{n+1} }{n+1} \right]_0^1 & \\ \quad \frac{ 2^{n+1} - 1 }{n+1} &= {}_n \mathrm{ C }_0 + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_1 }{2} + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_2 }{3} + \cdots + \frac{ {}_n \mathrm{ C }_n }{n+1} & \\ \end{flalign*} よって,与等式は成立する。

[9] の証明
二項定理より \begin{flalign*} & (1+x)^{m+n} = {}_{m+n} \mathrm{ C }_0 + {}_{m+n} \mathrm{ C }_1 x + {}_{m+n} \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_{m+n} \mathrm{ C }_n x^n + \cdots + {}_{m+n} \mathrm{ C }_{m+n} x^{m+n} \quad \ldots Ⓒ & \end{flalign*} また
\begin{flalign*} (1+x)^{m+n} &= (1+x)^m (1+x)^n & \\[0.5em] &= ( {}_m \mathrm{ C }_0 + {}_m \mathrm{ C }_1 x + {}_m \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_m \mathrm{ C }_m x^m ) ( {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 x + {}_n \mathrm{ C }_2 x^2 + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n x^n ) & \\[0.5em] &= {}_m \mathrm{ C }_0 {}_n \mathrm{ C }_0 + ( {}_m \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_m \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 ) x + ( {}_m \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_2 + {}_m \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_m \mathrm{ C }_2 \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 ) x^2 + \cdots & \\[0.5em] & \hspace{ 4em } + ( {}_m \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_m \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + \cdots + {}_m \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 ) x^n + \cdots & \\[0.5em] & \hspace{ 4em } + ( {}_m \mathrm{ C }_{m-1} \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_m \mathrm{ C }_m \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} ) x^{m+n-1} + {}_m \mathrm{ C }_m \cdot {}_n \mathrm{ C }_n x^{m+n} \quad \ldots Ⓓ & \end{flalign*}
Ⓒ,Ⓓ から,\( x^n \) の係数を比較して,
\begin{flalign*} {}_{m+n} \mathrm{ C }_n & = {}_m \mathrm{ C }_0 \cdot {}_n \mathrm{ C }_n + {}_m \mathrm{ C }_1 \cdot {}_n \mathrm{ C }_{n-1} + \cdots + {}_m \mathrm{ C }_n \cdot {}_n \mathrm{ C }_0 & \\[0.5em] \end{flalign*} [1]より   \( {}_{m+n} \mathrm{ C }_{n} = {}_{m+n} \mathrm{ C }_m \)  だから,
与等式は成立する。

以上で,パスカルの三角形とその性質について終了するが, パスカルの三角形に関する性質は他にもたくさんある。
今回は等式についてのみ証明したが, 文章で記述されている性質について証明していない。
今後,それらについて追加記述していきたい。